9月18日，中国科学院院士、广州南方学院校长汤涛教授做客陈省身数学研究所“陈省身讲座”，作题为“偏微分方程数值解：深度学习方法的机遇与挑战”的学术报告。来自南开大学、天津工业大学的300多位师生现场聆听了汤涛院士的精彩报告。报告由陈省身数学研究所所长麻小南教授主持。
汤涛院士首先回顾了偏微分方程数值计算的发展背景。有限差分、有限元等传统数值方法经过长期发展，已经形成了成熟的理论和计算体系，在科学与工程计算中发挥着重要作用。然而，当问题的维数不断升高时，传统方法所需要的计算量会迅速增长；对于复杂区域等问题，计算也会面临新的困难。近年来快速发展的深度学习方法，为突破这些传统数值方法面临的困难提供了新的思路。
汤涛院士随后介绍了利用深度神经网络求解偏微分方程的基本思想。与传统方法在空间中建立网格不同，深度学习方法可以通过随机选取采样点并通过强大的非线性表达来逼近方程的解，因而具有无网格、可处理高维问题等特点。但汤涛院士指出，深度学习求解偏微分方程仍然面临许多挑战。例如，如何处理边界条件，如何选取合适的训练点，以及如何解决神经网络训练中的高维非凸优化问题，都直接影响最终的计算效果。围绕这些困难，他结合边界条件处理、自适应采样以及神经网络对不同频率信息的学习特点等，介绍了近年来的一系列研究进展。
汤涛院士进一步展示了深度学习方法在高维偏微分方程中的潜在优势。传统数值方法在维数很高时往往面临巨大的计算压力，而借助随机采样以及新的计算方法，可以在一定程度上减弱计算复杂度对于维数的依赖。汤涛院士展示了相关数值实验，其中包括十万维抛物型偏微分方程等高维问题的计算结果，体现了深度学习方法在传统方法难以直接处理的问题上的潜力。
报告最后，汤涛院士还介绍了深度学习在“算子学习”和“不确定性量化”方面的运用潜力。传统数值计算通常针对一个给定的偏微分方程求解，算子学习则希望通过数据训练，直接学习从一类输入函数到相应解之间的映射关系，从而实现对一类偏微分方程的快速求解。实际物理模型中存在参数不确定、数据噪声等问题，仅提供确定性解不足以评估风险。贝叶斯神经网络等方法为不确定性量化提供了可能，比如可以预测结果的概率分布并提供置信区间，从而增强模型在气候预测等领域的可信度。
主题报告结束后，汤涛院士与在场师生进行了热烈交流。围绕深度学习求解高维偏微分方程的适用范围、随机采样在高维计算中的作用、复杂物理问题中神经网络方法的局限性等问题，现场师生踊跃提问。汤涛院士结合扩散方程、椭圆型方程、金融数学中的不确定性量化等具体例子作了深入浅出的回应。他指出，深度学习方法在高维扩散类、抛物型及部分模型问题中展现出重要潜力，但对于强非线性、带激波或复杂物理结构的问题仍面临较大挑战；同时，如何设计更有效的随机采样分布、保持数值解的物理性质等，也是未来值得深入研究的重要方向。
整场报告从传统偏微分方程数值计算出发，介绍了深度学习方法带来的新思路，也分析了这一新兴方向目前面临的困难与挑战，展现了人工智能与计算数学交叉融合的发展前景。